Pritha Bhandari 2023-06-21
描述性统计用于汇总和整理数据集的特征。数据集是从样本或整个总体中收集到的一组响应或观测值。
在定量研究中，收集完数据后，统计分析的第一步是描述这些响应的特征，例如一个变量（如年龄）的平均值，或两个变量（如年龄与创造力）之间的关系。
下一步是推断性统计，它帮助你判断数据是否支持或反驳你的假设，以及该结果是否可以推广到更大的总体。
描述性统计的类型
描述性统计主要有以下3种类型：
- 分布：关注每个数值出现的频率。
- 集中趋势：关注数值的平均情况。
- 变异性（离散程度）：关注数值的分散程度。
你可以将这些方法应用于单个变量（单变量分析），也可以用于比较两个或多个变量（双变量或多变量分析）。
研究示例
你想研究不同休闲活动按性别划分的受欢迎程度。你发放了一份调查问卷，询问参与者在过去一年中每项活动进行了多少次：
- 去图书馆
- 在电影院看电影
- 参观国家公园
你的数据集就是这份调查的所有回答。现在，你可以使用描述性统计来了解每项活动的总体频率（分布）、每项活动的平均次数（集中趋势）以及每项活动回答的离散程度（变异性）。
频数分布
一个数据集由一系列数值（或分数）的分布组成。你可以通过表格或图表，以数字或百分比的形式，汇总某个变量所有可能取值的出现频次。这称为频数分布。
简单频数分布表 vs. 分组频数分布表
对于“性别”这一变量，你在左列列出所有可能的回答，然后在右列统计每种回答的数量或百分比。
| 性别 | 人数 |
|---|---|
| 男性 | 182 |
| 女性 | 235 |
| 其他 | 27 |
从这张表可以看出，参与本研究的女性人数多于男性或其他性别身份者。
集中趋势的度量
集中趋势的度量用于估计数据集的中心（或平均值）。均值、中位数和众数是三种常用的求平均的方法。
下面我们将用调查前6个回答为例，演示如何计算均值、中位数与众数。
均值（Mean）
均值（通常记为 M）是最常用的平均值计算方法。
要计算均值，只需将所有回答值相加，再除以回答总数。回答或观测的总数称为 N。
过去一年去图书馆的次数（均值）
- 数据集：15, 3, 12, 0, 24, 3
- 所有值之和：15 + 3 + 12 + 0 + 24 + 3 = 57
- 回答总数：N = 6
- 均值：57 ÷ 6 = 9.5
中位数（Median）
中位数是将数据从小到大排列后位于中间位置的数值。如果数据个数为偶数，则中位数是中间两个数的平均值。
过去一年去图书馆的次数（中位数）
- 排序后的数据集：0, 3, 3, 12, 15, 24
- 中间两个数：3 和 12
- 中位数：(3 + 12) ÷ 2 = 7.5
众数（Mode）
众数是数据集中出现频率最高的数值。
过去一年去图书馆的次数（众数）
- 数据集：0, 3, 3, 12, 15, 24
- 出现最多的数值：3（出现2次）
变异性的度量
变异性的度量让你了解回答值的分散程度。极差、标准差和方差分别反映了数据离散的不同方面。
极差（Range）
极差表示最极端的两个回答值之间的差距。计算方法是：最大值减去最小值。
过去一年去图书馆次数的极差
- 排序后的数据集：0, 3, 3, 12, 15, 24
- 极差：24 – 0 = 24
标准差（Standard Deviation）
标准差（记为 s 或 SD）表示数据集中各数值相对于均值的平均偏离程度。标准差越大，数据越分散。
计算标准差的六个步骤如下：
- 列出每个分数并计算其均值。
- 用每个分数减去均值得到偏差。
- 将每个偏差平方。
- 将所有平方偏差相加。
- 将平方偏差总和除以 N – 1。
- 对所得结果开平方根。
过去一年去图书馆次数的标准差
下表完成步骤1至4：
| 原始数据 | 与均值的偏差 | 偏差的平方 |
|---|---|---|
| 15 | 15 – 9.5 = 5.5 | 30.25 |
| 3 | 3 – 9.5 = -6.5 | 42.25 |
| 12 | 12 – 9.5 = 2.5 | 6.25 |
| 0 | 0 – 9.5 = -9.5 | 90.25 |
| 24 | 24 – 9.5 = 14.5 | 210.25 |
| 3 | 3 – 9.5 = -6.5 | 42.25 |
| 均值 M = 9.5 | 偏差总和 = 0 | 平方和 = 421.5 |
- 步骤5：421.5 ÷ 5 = 84.3
- 步骤6：√84.3 ≈ 9.18
由此可知，s = 9.18，即每个分数平均偏离均值约9.18次。
方差（Variance）
方差是偏差平方的平均值，反映数据集的离散程度。数据越分散，方差相对于均值就越大。
要计算方差，只需将标准差平方即可。方差的符号为 s²。
过去一年去图书馆次数的方差
- 数据集：15, 3, 12, 0, 24, 3
- s = 9.18
- s² = 84.3
单变量描述性统计
单变量描述性统计一次只关注一个变量。重要的是，应分别使用多种分布、集中趋势和离散程度的指标来检查每个变量的数据。SPSS 和 Excel 等软件可轻松计算这些指标。
去图书馆次数的单变量描述统计
| 指标 | 数值 |
|---|---|
| N（样本量） | 6 |
| 均值 | 9.5 |
| 中位数 | 7.5 |
| 众数 | 3 |
| 标准差 | 9.18 |
| 方差 | 84.3 |
| 极差 | 24 |
如果你仅考虑均值作为集中趋势的度量，异常值可能会扭曲你对数据“中心”的理解，而中位数或众数则不受此影响。
同样，虽然极差对异常值敏感，但你也应结合标准差和方差来获得更易比较的离散程度指标。
双变量描述性统计
如果你收集了多个变量的数据，可以使用双变量或多变量描述性统计来探索它们之间是否存在关系。
在双变量分析中，你同时研究两个变量的频数和变异性，以观察它们是否共同变化。你还可以在进行进一步统计检验之前，比较这两个变量的集中趋势。
多变量分析与双变量分析相同，只是涉及两个以上的变量。
列联表（Contingency Table）
在列联表中，每个单元格代表两个变量的交叉点。通常，自变量（如性别）放在纵轴，因变量（如活动）放在横轴。你可以“横向”阅读表格，以了解自变量与因变量之间的关系。
过去一年去图书馆的次数（原始数据）
| 群体 | 0–4 | 5–8 | 9–12 | 13–16 | 17+ |
|---|---|---|---|---|---|
| 儿童 | 32 | 68 | 37 | 23 | 22 |
| 成人 | 36 | 48 | 43 | 83 | 25 |
将原始数据转换为百分比后，列联表更易于解读。百分比使每一行具有可比性，仿佛每个群体都只有100名观察对象或参与者。创建基于百分比的列联表时，通常在每行末尾加上该自变量类别的总样本量（N）。
过去一年去图书馆的次数（百分比形式）
| 群体 | 0–4 | 5–8 | 9–12 | 13–16 | 17+ | N |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 儿童 | 18% | 37% | 20% | 13% | 12% | 182 |
| 成人 | 15% | 20% | 18% | 35% | 11% | 235 |
从该表可以更清楚地看出：儿童和成人每年去图书馆超过17次的比例相近。此外，儿童最常去图书馆的次数区间是5–8次，而成人则是13–16次。
散点图（Scatter Plot）
散点图是一种展示两个或三个变量之间关系的图表，是变量间关系强度的可视化表示。
在散点图中，一个变量沿x轴绘制，另一个变量沿y轴绘制。每个数据点在图中以一个点表示。
散点图示例：图书馆访问次数与电影院观影次数
你调查是否经常去图书馆的人较少去电影院看电影。你将参与者去电影院的次数绘制在x轴，去图书馆的次数绘制在y轴。
从散点图可以看出，随着去电影院次数的增加，去图书馆的次数减少。基于你对可能存在线性关系的视觉判断，你可以进一步进行相关性和回归分析。
