推断统计学 | 简明入门与示例

Pritha Bhandari 2023-06-22

描述性统计用于总结数据集的特征，而推断统计则帮助你根据数据得出结论并做出预测。

当你从一个样本中收集了数据后，可以使用推断统计来了解该样本所来自的更大总体。

推断统计主要有两个用途：

• 对总体进行估计（例如，全美所有11年级学生的平均SAT分数）。
• 通过假设检验对总体得出结论（例如，SAT分数与家庭收入之间的关系）。

描述性统计 vs. 推断统计

描述性统计用于描述一个数据集，而推断统计则允许你基于一个数据集进行推断。

描述性统计

使用描述性统计，你可以报告自己数据的特征：

• 分布：关注每个数值出现的频率。
• 集中趋势：关注数值的平均值。
• 变异性：关注数值的离散程度。

在描述性统计中不存在不确定性——这些统计量精确地描述了你所收集的数据。如果你从整个总体中收集了数据，就可以直接将这些描述性统计量与其他总体的统计量进行比较。

示例：描述性统计

你收集了一所学校连续三年所有11年级学生的SAT分数数据。
你可以使用描述性统计快速了解该校这些年份的分数概况，并可直接将该校的平均SAT分数与其他学校的平均分进行比较。

推断统计

大多数情况下，你只能从样本中获取数据，因为从你感兴趣的整个总体中收集数据往往过于困难或昂贵。

虽然描述性统计只能总结样本的特征，但推断统计则利用你的样本来对更大的总体做出合理的推测。

在推断统计中，使用随机且无偏的抽样方法非常重要。如果你的样本不能代表总体，那么你就无法做出有效的统计推断或进行推广。

示例：推断统计

你在本州随机选取一部分11年级学生，并收集他们的SAT分数及其他特征数据。
你可以利用推断统计，基于样本数据对该州全体11年级学生的总体情况进行估计和假设检验。

推断统计中的抽样误差

由于样本的规模总是小于总体的规模，因此总体中总有一部分未被样本数据所涵盖。这就产生了抽样误差，即真实总体值（称为参数）与所测得的样本值（称为统计量）之间的差异。

只要你使用样本，就会产生抽样误差，即使你的样本是随机且无偏的。因此，推断统计中始终存在一定的不确定性。不过，使用概率抽样方法可以减少这种不确定性。

从样本统计量估计总体参数

样本和总体的特征由被称为统计量和参数的数值来描述：

• 统计量：描述样本的度量（例如，样本均值）。
• 参数：描述整个总体的度量（例如，总体均值）。

抽样误差就是参数与相应统计量之间的差异。由于在大多数情况下你并不知道真实的总体参数，因此可以使用推断统计来估计这些参数，并将抽样误差考虑在内。

你可以对总体做出两种重要的估计：点估计和区间估计。

• 点估计：用单个数值来估计参数。例如，样本均值是总体均值的点估计。
• 区间估计：给出一个参数可能落在其中的数值范围。置信区间是最常见的区间估计类型。

这两种估计对于全面了解参数可能的位置都很重要。

置信区间

置信区间利用围绕统计量的变异性来为参数提供一个区间估计。置信区间在估计参数时非常有用，因为它们考虑了抽样误差。

点估计为你提供了所关注参数的精确值，而置信区间则告诉你该点估计的不确定性。两者结合使用效果最佳。

每个置信区间都对应一个置信水平。置信水平以百分比形式告诉你：如果重复研究，该区间包含参数估计值的概率有多大。

例如，95%的置信区间意味着：如果你以完全相同的方式重复研究100次（每次都使用新的样本），那么大约有95次你的估计值会落在指定的数值范围内。

虽然你可以说你的估计值在一定比例的情况下会落在该区间内，但你不能确定真实的总体参数就一定在其中。这是因为如果不从整个总体收集数据，你就无法知道总体参数的真实值。

然而，只要采用随机抽样并拥有合适的样本量，你就有理由相信你的置信区间在一定比例的情况下会包含真实参数。

示例：点估计与置信区间

你想了解一家国际公司员工平均享有的带薪假期天数。在从随机样本收集调查回复后，你计算出一个点估计和一个置信区间。

• 你对总体平均带薪假期天数的点估计是样本均值：19天。
• 在随机抽样的前提下，95%置信区间为[16, 22]，这意味着你可以合理确信，员工平均带薪假期天数在16到22天之间。

假设检验

假设检验是一种使用推断统计进行正式统计分析的过程。其目标是使用样本来比较总体或评估变量之间的关系。

假设（或预测）通过统计检验进行检验。统计检验还会估计抽样误差，从而可以做出有效的推断。

统计检验可分为参数检验和非参数检验。参数检验被认为具有更强的统计功效，因为如果效应确实存在，它们更有可能检测到。

参数检验包含以下假设：

• 样本所来自的总体服从正态分布；
• 样本量足够大，能够代表总体；
• 所比较的各组的方差（一种变异性度量）相似。

当你的数据违反上述任何一项假设时，非参数检验更为合适。非参数检验被称为“无分布检验”，因为它们不对总体数据的分布做任何假设。

统计检验有三种形式：比较检验、相关检验和回归检验。

比较检验

比较检验用于评估两个或多个组的均值、中位数或排序是否存在差异。

要选择适合你研究目的的检验方法，需考虑你的数据是否满足参数检验的条件、样本数量以及变量的测量水平。

均值仅适用于等距或比率数据，而中位数和排序更适合有序数据。

相关检验

相关检验用于确定两个变量之间的关联程度。

尽管Pearson相关系数（Pearson’s r）具有最强的统计功效，但当数据不服从正态分布时，Spearman相关系数（Spearman’s r）更适合用于等距或比率变量。

卡方独立性检验（Chi square test of independence）是唯一可用于名义变量的检验。

回归检验

回归检验用于说明预测变量的变化是否会导致结果变量的变化。你可以根据预测变量和结果变量的数量及类型，决定使用哪种回归检验。

大多数常用的回归检验都是参数检验。如果你的数据不服从正态分布，可以进行数据转换。

数据转换通过数学运算（如对每个值取平方根）使你的数据更接近正态分布。