随机变量：统计学中的定义

什么是随机变量？

在代数中，你可能还记得使用像“ $x$ ”或“ $y$ ”这样的变量，它们代表一个未知量，例如 $y = x + 1$ 。你会解出 x 的值，因此 x 代表一个特定的数字（或者如果你讨论的是函数，它可能代表一组数字）。当你进入统计学领域时，会使用不同类型的变量，包括随机变量。这些变量仍然是数量，但与代数中的“x”或“y”（它们只是单纯的数字）不同，随机变量具有独特的特征和行为：

随机变量用大写字母表示。如果你看到小写的 x 或 y，那就是你在代数中熟悉的那种变量，指的是一个未知的数量或多个数量。如果你看到大写的 X 或 Y，那就是一个随机变量，通常指获得某种结果的概率。
随机变量与随机过程相关联。
随机过程是指具有随机结果的事件或实验。例如：掷骰子、抽一张牌、抽取一个宾果球、玩老虎机，或者成千上万种其他可能性中的任意一种。这是一种你无法准确预测其结果的事情；你可能会有一系列可能的结果，因此会计算某个特定结果发生的概率。
随机变量为随机事件的结果赋予数值。随机变量在数值意义上与 x 或 y 相同，但它是附属于一个随机事件的。

离散型与连续型随机变量

随机变量可以是离散的或连续的。

离散型随机变量具有以下性质：

可能取值的数量是可数的；
每个取值的概率介于 0 和 1 之间；
所有概率之和等于 1。用求和符号表示，若离散型随机变量的概率质量函数为 $m(x) = \mathbb{P}(X = x)$ ，则满足： $\sum_{x} m(x) = 1$

连续型随机变量具有类似但不同的性质：

可能取值的数量是无限的；
每个具体取值的概率为 0（例如，如果你能以无限精度测量身高，那么几乎不可能找到另一个活着的人具有完全相同的身高）；
曲线下的面积（即不定积分）等于 1。若 $f_X$ 是 X 的概率密度函数（pdf），则有： $\int_{-\infty}^{\infty} f_X(x) \, dx = 1$

随机事件示例

掷骰子是一个随机事件，你可以对结果进行量化（即赋予一个数字）。假设你想知道在掷若干次骰子时会出现多少次“6”。你可以定义随机变量 X：当掷出 6 时 X = 1，掷出其他数字时 X = 0。

这只是一个例子；你可以按自己的意愿定义 X 和 Y（例如，掷出 6 时 X = 2，否则 X = 9）。

以下是更多随机变量的例子：

X = 彩票号码的总和。
Y = 停车场中空闲停车位的数量。
Z = 一手牌中 A 的数量。

随机事件的概率

随机变量最常与随机事件发生的概率结合使用。假设你想判断在玩扑克时，一手牌中拿到四张 A 的概率是否小于 5%。你可以写成：

P(从 52 张牌中发 4 张牌时拿到四张 A 的概率 < 0.05)

这种写法非常冗长，尤其是需要反复书写时。如果你定义随机变量 X 为“拿到四张 A”，即：

X = 从 52 张牌中发 4 张牌时拿到四张 A 的事件

那么你就可以简洁地写作：

P(X < 0.05)

这类似于计算机编程中的变量定义：你在编程语言中定义变量，以便后续计算可以引用这些变量。好消息是，在基础统计学或 AP 统计学中，随机变量通常已经为你定义好了，你不需要自己定义。

在基于微积分的统计学中，随机变量的概率可以用定积分来定义 [2]：

X 落在区间 $[a, b]$ 内的概率为：
$\mathbb{P}(a \leq X \leq b) = \int_a^b f_X(x) \, dx$
其中 $f_X$ 是 X 的概率密度函数（pdf）。

随机变量的均值与众数

离散型随机变量的均值（期望值）

离散型随机变量的均值是其取值的加权平均，公式为：

\mu_X = x_1 p_1 + x_2 p_2 + \dots + x_n p_n = \sum x_i p_i

换句话说，将每个可能的取值乘以其对应的概率，然后全部相加。

连续型随机变量的均值

对于连续型随机变量，没有简单的通用公式来求均值。你需要查阅该变量所服从的概率分布的具体公式。例如：

正态分布的均值是曲线的中心；
均匀分布的均值是 $\frac{b + a}{2}$ 。

连续型随机变量的众数

对于具有概率密度函数 $f_X$ 的连续型随机变量，其众数可通过优化方法找到：令导数为零。具体来说，众数是 $f_X$ 的局部最大值点，满足一阶导数为零且二阶导数小于或等于零。用导数符号表示，即任意满足以下条件的点 x：

f'_X(x) = 0 \quad \text{且} \quad f''_X(x) \leq 0

随机变量的方差

离散型随机变量的方差公式：

\sigma^2 = \sum (x_i - \mu)^2 f(x)

注：这也是 AP 统计学中的一个标准公式。

$\Sigma$ （求和符号）表示“把所有项加起来”；
$\mu$ = 期望值（均值）；
$x_i$ = 随机变量的取值；
$f(x)$ 是该取值的概率（用函数表示法）。有时你也可能看到用 $P_i$ 代替 $f(x)$ ，但含义相同。

随机变量方差的计算步骤

例题：某工厂每生产 100 个披萨，就会有一定数量的变形披萨。下表给出了变形披萨数量的概率分布数据。求随机变量 X 的方差。

x（变形披萨数）	2	3	4	5	6
f(x)（概率）	0.01	0.25	0.4	0.3	0.04

步骤 1：计算均值 $\mu$ ：

\begin{align*} \mu &= 2 \times 0.01 + 3 \times 0.25 + 4 \times 0.4 + 5 \times 0.3 + 6 \times 0.04 \\ &= 0.02 + 0.75 + 1.6 + 1.5 + 0.24 \\ &= 4.11 \end{align*}

步骤 2：使用方差公式：

\sigma^2 = \sum (x_i - \mu)^2 f(x)

\begin{align*} &= (2 - 4.11)^2 \times 0.01 \\ &+ (3 - 4.11)^2 \times 0.25 \\ &+ (4 - 4.11)^2 \times 0.4 \\ &+ (5 - 4.11)^2 \times 0.3 \\ &+ (6 - 4.11)^2 \times 0.04 \\ &\approx 0.74 \end{align*}

因此，该随机变量的方差为 0.74。

示例 2：离散型随机变量的方差（概率表）

问题：根据下表数据，求股票涨幅百分比的方差。表中给出了三种不同涨幅及其对应概率：

股票涨幅（X）	-4.00%	5.00%	16.00%
概率 p	0.22	0.43	0.35

步骤 1：计算期望值（即分布的均值）：

\mu = (-4.00\% \times 0.22) + (5.00\% \times 0.43) + (16.00\% \times 0.35) = -0.88\% + 2.15\% + 5.6\% = 6.87\%

步骤 2：从每个 X 值中减去均值，然后平方：

\begin{align*} (-4.00\% - 6.87\%)^2 &= (-10.87\%)^2 = 118.1569 \\ (5.00\% - 6.87\%)^2 &= (-1.87\%)^2 = 3.4969 \\ (16.00\% - 6.87\%)^2 &= (9.13\%)^2 = 83.3569 \\ \end{align*}

步骤 3：将步骤 2 的结果乘以其对应的概率：

\begin{align*} 118.1569 \times 0.22 &= 25.9945 \\ 3.4969 \times 0.43 &= 1.5037 \\ 83.3569 \times 0.35 &= 29.1749 \\ \end{align*}

步骤 4：将步骤 3 的结果相加：

25.9945 + 1.5037 + 29.1749 = 56.67\%

因此，方差为 56.67%（注意：这是以百分比平方为单位的方差）。

连续型随机变量的方差

可以使用微积分计算连续型随机变量的方差。

连续型随机变量方差的公式为以下积分：

\sigma^2 = \int_{-\infty}^{\infty} (x - \mu)^2 f(x) \, dx

二项随机变量

二项随机变量是指在二项实验中成功次数的计数。

在适当条件下，掷骰子可以构成一个二项实验。

要使一个变量被归类为二项随机变量，必须同时满足以下条件：

试验次数固定（即有确定的样本量）；
每次试验只有两种可能结果：成功或失败；
每次试验中成功的概率完全相同；
各次试验相互独立。

二项随机变量的示例：

抛一枚公平硬币 30 次，正面朝上的次数；
购买 20 张同类型刮刮乐彩票，中奖的张数；
在 200 人的随机样本中，右撇子的人数；
回答“是”的人数（例如：“你是否在 2012 年投票给奥巴马？”）；
在 40 名星巴克顾客的样本中，更喜欢店内咖啡而非星冰乐的人数。

二项分布的两个重要特征（二项随机变量服从二项分布）：

$n$ = 固定的试验次数；
$p$ = 每次试验成功的概率。

例如：抛硬币 10 次，看出现多少次正面： $n = 10$ ， $p = 0.5$ （因为正面出现的概率是 50%）。

小贴士：

如果你不是在计数某件事发生的次数，那它就不是二项随机变量。
实验中的试验次数必须是固定的。例如，“在掷出 3 之前掷骰子的次数”不是二项随机变量，因为试验次数不确定。但“掷骰子 30 次，记录出现 3 的次数”是二项随机变量。

概率分布与累积分布函数（CDF）

连续型随机变量的概率密度函数（PDF）可通过积分来描述：

\mathbb{P}(c \leq X \leq d) = \int_c^d f(x) \, dx

该 PDF $f(x)$ 满足以下两个性质：

$f(x) \geq 0$ （即 $f$ 不能为负）；
$\int f(x) \, dx = 1$ （即曲线下面积等于 1）。

然而，PDF 本身并不能直接告诉我们具体的概率值（例如 $P(X < 5)$ 或 $P(X = 6)$ ）。为此，我们需要另一个公式。对于连续型随机变量，事件 $X$ 的概率可通过以下积分计算 [2]：

\mathbb{P}(X \in A) = \int_{x \in A} f(x) \, dx

其中 $f(x)$ 是概率密度函数（PDF）。

由于这是一个积分，因此任何一个特定结果的概率为零这一点就很容易理解了。另一种思考方式是：如果你以无限精度测量一辆汽车的长度，那么另一辆汽车恰好具有完全相同长度的概率为零。

累积分布函数（CDF）定义为如下积分：

F(x) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \, dt